integral of sin(2θ)sin(6θ)

解答

\int sin (2 θ) sin (6 θ) d θ

\frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ)) + C

求解步骤

\int sin (2 θ) sin (6 θ) d θ

使用三角恒等式改写

= \int \frac{1}{2} (- cos (8 θ) + cos (- 4 θ)) d θ

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (8 θ) + cos (- 4 θ) d θ

化简

- cos (8 θ) + cos (- 4 θ) : cos (4 θ) - cos (8 θ)

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (4 θ) - cos (8 θ) d θ

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (4 θ) d θ - \int cos (8 θ) d θ)

\int cos (4 θ) d θ = \frac{1}{4} sin (4 θ)

\int cos (8 θ) d θ = \frac{1}{8} sin (8 θ)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ))

解答补常数

= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ)) + C

l a pl a ce t r an s f or m 2 sin (3 t) cos (3 t)

\int (z + 3)^{4} d z

d er i v a t i v e (3 x - 2)^{3} (8 x^{2} + 7)^{3}

a re a - \frac{1}{2} x^{3} + 2 x^{2} + \frac{15}{2} x - 9, [1, 6]

\int_{- 1}^{1} 4 - 4 x^{2} d x