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integral of 1/(sqrt(2pi))e^{(-x^2)/2}

Lösung

\int \frac{1}{2 π} e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

\frac{1}{2} erf (\frac{x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 π} e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 π} \cdot \int e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

2 π = 2^{\frac{1}{2}} π^{\frac{1}{2}}

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

Vereinfache

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{2} = (\frac{x}{2})^{2}

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{- (\frac{x}{2})^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{- u^{2}} 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \frac{π}{2} erf (u)

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

Vereinfache

\frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) : \frac{1}{2} erf (\frac{x}{2})

= \frac{1}{2} erf (\frac{x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} erf (\frac{x}{2}) + C

\int \frac{1 + t + t ^{2}}{t} d t

h \to 0 lim (\frac{h}{h})

f (x) = \frac{cos ( x )}{2 + sin ( x )}

\int cos^{3} (8 - x) sin (8 - x) d x

n = 0 \sum \infty (\frac{5}{6})^{n}