(\partial)/(\partial x)(xe^{-x}(a+bx+cx^2))

解

\frac{\partial}{\partial x} (x e^{- x} (a + b x + c x^{2}))

- c e^{- x} x^{3} - b e^{- x} x^{2} + 3 c e^{- x} x^{2} - a e^{- x} x + 2 b e^{- x} x + a e^{- x}

解答ステップ

\frac{\partial}{\partial x} (x e^{- x} (a + b x + c x^{2}))

積の法則を適用:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

f = x, g = e^{- x} (a + b x + c x^{2})

= \frac{\partial}{\partial x} (x) e^{- x} (a + b x + c x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (e^{- x} (a + b x + c x^{2})) x

\frac{\partial}{\partial x} (x) = 1

\frac{\partial}{\partial x} (e^{- x} (a + b x + c x^{2})) = - e^{- x} (a + b x + c x^{2}) + e^{- x} (2 c x + b)

= 1 \cdot e^{- x} (a + b x + c x^{2}) + (- e^{- x} (a + b x + c x^{2}) + e^{- x} (2 c x + b)) x

簡素化

1 \cdot e^{- x} (a + b x + c x^{2}) + (- e^{- x} (a + b x + c x^{2}) + e^{- x} (2 c x + b)) x : - c e^{- x} x^{3} - b e^{- x} x^{2} + 3 c e^{- x} x^{2} - a e^{- x} x + 2 b e^{- x} x + a e^{- x}

= - c e^{- x} x^{3} - b e^{- x} x^{2} + 3 c e^{- x} x^{2} - a e^{- x} x + 2 b e^{- x} x + a e^{- x}