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integral of sqrt(48+2x-x^2)

Lösung

\int 48 + 2 x - x^{2} d x

\frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)))) + C

Schritte zur Lösung

\int 48 + 2 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

48 + 2 x - x^{2} : - (x - 1)^{2} + 49

= \int - (x - 1)^{2} + 49 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 49 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 49 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 49 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 49 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 49 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 49 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 1))))

Vereinfache

49 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)))) : \frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 1))))

= \frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 1))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 1)))) + C

\frac{d}{d x} (y + x)

x \to 0 lim (5 x^{3} + 2 x)

e^{x} y \frac{d y}{d x} = e^{- y} + e^{- 6 x - y}

\int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} - 4} d x

\frac{d}{d x} (6 x ln (x) + 5 x)