inverselaplace s/(s^2+2s+3)

解

逆ラプラス

\frac{s}{s ^{2} + 2 s + 3}

e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 2 s + 3}}

拡張

\frac{s}{s ^{2} + 2 s + 3} : \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}

= L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}} : e^{- t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}} : e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= e^{- t} cos (2 t) - 1 \cdot e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

e^{- t} cos (2 t) - 1 e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t) : e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

= e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)