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integral of 3/(x^2+x-2)

Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} + x - 2} d x

Lösung

- ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} + x - 2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + x - 2} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + x - 2 : (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{9}{4}

= 3 \cdot \int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{9}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{4}{4 u ^{2} - 9} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} - 9} d u

Wende integrale Substitution an

= 3 \cdot 4 \cdot \int \frac{1}{6 ( v ^{2} - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln \frac{2}{3} ( x + \frac{1}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3} ( x + \frac{1}{2} ) - 1}{2}))

Vereinfache

3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln \frac{2}{3} ( x + \frac{1}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3} ( x + \frac{1}{2} ) - 1}{2})) : - ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x

= - ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x + C

Graph

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