inverselaplace (2s+1)/(s^2+2s+5)

解

逆ラプラス

\frac{2 s + 1}{s ^{2} + 2 s + 5}

2 e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{2 s + 1}{s ^{2} + 2 s + 5}}

拡張

\frac{2 s + 1}{s ^{2} + 2 s + 5} : 2 \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {2 \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= 2 L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= 2 e^{- t} cos (2 t) - 1 \cdot e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

2 e^{- t} cos (2 t) - 1 e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t) : 2 e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

= 2 e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)