integral of (1+x^3)^{-1}

解

\int (1 + x^{3})^{- 1} d x

\frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + C

解答ステップ

\int (1 + x^{3})^{- 1} d x

指数の規則を適用する:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \int \frac{1}{1 + x ^{3}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{1 + x ^{3}} : \frac{1}{3 ( x + 1 )} + \frac{- x + 2}{3 ( x ^{2} - x + 1 )}

= \int \frac{1}{3 ( x + 1 )} + \frac{- x + 2}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 ( x + 1 )} d x + \int \frac{- x + 2}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

\int \frac{1}{3 ( x + 1 )} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{- x + 2}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} d x = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

= \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + C