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人気のある微分積分 >

integral of (ae^x+b)/(ae^x-b)

解

\int \frac{a e ^{x} + b}{a e ^{x} - b} d x

解

- ln (\frac{e ^{x} ∣ a ∣}{∣ b ∣}) + 2 ln \frac{a e ^{x}}{b} - 1 + C

解答ステップ

\int \frac{a e ^{x} + b}{a e ^{x} - b} d x

a e^{x} + b = b (\frac{a e ^{x}}{b} + 1)

= \int \frac{b ( \frac{a e ^{x}}{b} + 1 )}{a e ^{x} - b} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= b \cdot \int \frac{\frac{a e ^{x}}{b} + 1}{a e ^{x} - b} d x

u置換積分法を適用する

= b \cdot \int \frac{u}{b ( u - 1 ) ( u - 2 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= b \frac{1}{b} \cdot \int \frac{u}{( u - 1 ) ( u - 2 )} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{u}{( u - 1 ) ( u - 2 )} : - \frac{1}{u - 1} + \frac{2}{u - 2}

= b \frac{1}{b} \cdot \int - \frac{1}{u - 1} + \frac{2}{u - 2} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= b \frac{1}{b} (- \int \frac{1}{u - 1} d u + \int \frac{2}{u - 2} d u)

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

\int \frac{2}{u - 2} d u = 2 ln ∣ u - 2 ∣

= b \frac{1}{b} (- ln ∣ u - 1 ∣ + 2 ln ∣ u - 2 ∣)

代用を戻す

u = \frac{a e ^{x}}{b} + 1

= b \frac{1}{b} (- ln \frac{a e ^{x}}{b} + 1 - 1 + 2 ln \frac{a e ^{x}}{b} + 1 - 2)

簡素化

b \frac{1}{b} (- ln \frac{a e ^{x}}{b} + 1 - 1 + 2 ln \frac{a e ^{x}}{b} + 1 - 2) : - ln (\frac{e ^{x} ∣ a ∣}{∣ b ∣}) + 2 ln \frac{a e ^{x}}{b} - 1

= - ln (\frac{e ^{x} ∣ a ∣}{∣ b ∣}) + 2 ln \frac{a e ^{x}}{b} - 1

定数を解答に追加する

= - ln (\frac{e ^{x} ∣ a ∣}{∣ b ∣}) + 2 ln \frac{a e ^{x}}{b} - 1 + C

グラフ

人気の例

(9xy^2-4y)+(9x^2y-4x)y^'=0

(9 x y^{2} - 4 y) + (9 x^{2} y - 4 x) y^{^{'}} = 0

integral of (csc(3x)-cot(3x))^2

\int (csc (3 x) - cot (3 x))^{2} d x

y^{''}-2y^'=sin(x),y(0)=1,y^'(0)=2

y^{^{''}} - 2 y^{^{'}} = sin (x), y (0) = 1, y^{^{'}} (0) = 2

integral of sqrt(t^2+4)

\int t^{2} + 4 d t

derivative of sin(x+5/6 cot(x))

\frac{d}{d x} (sin (x) + \frac{5}{6} cot (x))