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人気のある微分積分 >

integral of 1/(ax^2+bx+c)

解

\int \frac{1}{a x ^{2} + b x + c} d x

解

\frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a x + b}{4 a c - b ^{2}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{a x ^{2} + b x + c} d x

平方完成する

a x^{2} + b x + c : (a x + \frac{b}{2 a})^{2} + c - \frac{b ^{2}}{4 a}

= \int \frac{1}{( a x + \frac{b}{2 a} ) ^{2} + c - \frac{b ^{2}}{4 a}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{4 a}{4 a u ^{2} + 4 a c - b ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 a \cdot \int \frac{1}{4 a u ^{2} + 4 a c - b ^{2}} d u

置換積分法を適用する

= 4 a \cdot \int \frac{1}{2 a ( v ^{2} + 1 ) - b ^{2} + 4 a c} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (v)

代用を戻す

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a}{4 a c - b ^{2}} (a x + \frac{b}{2 a}))

簡素化

4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a}{4 a c - b ^{2}} (a x + \frac{b}{2 a})) : \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a x + b}{4 a c - b ^{2}})

= \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a x + b}{4 a c - b ^{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a x + b}{4 a c - b ^{2}}) + C

グラフ

人気の例

y^'-((2x)/(1+x^2))y=0,y(0)=4

y^{^{'}} - (\frac{2 x}{1 + x ^{2}}) y = 0, y (0) = 4

derivative (t^2-t)(t^2+t)

d er i v a t i v e (t^{2} - t) (t^{2} + t)

(\partial)/(\partial y)(e^{3xy})

\frac{\partial}{\partial y} (e^{3 x y})

\frac{d y}{d x} + 5 y = 0

(\partial)/(\partial x)(5+e^{-xy}cos(y))

\frac{\partial}{\partial x} (5 + e^{- x y} cos (y))