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integral of sin(t)e^{-st}

解答

\int sin (t) e^{- s t} d t

解答

- \frac{e ^{- s t} cos ( t )}{1 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( t )}{1 + s ^{2}} + C

求解步骤

\int sin (t) e^{- s t} d t

使用分布积分法

= - e^{- s t} cos (t) - \int s e^{- s t} cos (t) d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} cos (t) - s \cdot \int e^{- s t} cos (t) d t

使用分布积分法

= - e^{- s t} cos (t) - s (e^{- s t} sin (t) - \int - s e^{- s t} sin (t) d t)

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} cos (t) - s (e^{- s t} sin (t) - (- s \cdot \int e^{- s t} sin (t) d t))

因此

\int e^{- s t} sin (t) d t = - e^{- s t} cos (t) - s (e^{- s t} sin (t) - (- s \cdot \int e^{- s t} sin (t) d t))

整理

\int e^{- s t} sin (t) d t

= - \frac{e ^{- s t} cos ( t )}{1 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( t )}{1 + s ^{2}}

解答补常数

= - \frac{e ^{- s t} cos ( t )}{1 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( t )}{1 + s ^{2}} + C

作图

流行的例子

(\partial)/(\partial x)(e^{xyz^9})

\frac{\partial}{\partial x} (e^{x y z^{9}})

derivative ln(9-7x)

d er i v a t i v e ln (9 - 7 x)

integral of (3x^2+2x+1)/x

\int \frac{3 x ^{2} + 2 x + 1}{x} d x

derivative of (sin(2x)/x)

\frac{d}{d x} (\frac{sin ( 2 x )}{x})

integral of sin^2(4θ)

\int sin^{2} (4 θ) d θ