integral of (xe^x)/(sqrt(1+e^x))

Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{1 + e ^{x}} d x

2 x 1 + e^{x} + 4 (\frac{1}{2} ln 1 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{x} - 1 - 1 + e^{x}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{1 + e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{ln ( u )}{1 + u} d u

Wende die partielle Integration an

= 2 ln (u) 1 + u - \int \frac{2 1 + u}{u} d u

\int \frac{2 1 + u}{u} d u = - 4 (\frac{1}{2} ln 1 + u + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + u - 1 - 1 + u)

= 2 ln (u) 1 + u - (- 4 (\frac{1}{2} ln 1 + u + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + u - 1 - 1 + u))

Setze in

u = e^{x}

ein

= 2 ln (e^{x}) 1 + e^{x} - (- 4 (\frac{1}{2} ln 1 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{x} - 1 - 1 + e^{x}))

Vereinfache

2 ln (e^{x}) 1 + e^{x} - (- 4 (\frac{1}{2} ln 1 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{x} - 1 - 1 + e^{x})) : 2 x 1 + e^{x} + 4 (\frac{1}{2} ln 1 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{x} - 1 - 1 + e^{x})

= 2 x 1 + e^{x} + 4 (\frac{1}{2} ln 1 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{x} - 1 - 1 + e^{x})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 x 1 + e^{x} + 4 (\frac{1}{2} ln 1 + e^{x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{x} - 1 - 1 + e^{x}) + C

(\frac{x}{1 - x})^{^{'}}

\int cos (7 x) d x

4 y^{^{''}} + 4 y^{^{'}} + 17 y = 0

2 y^{^{'}} + y = 3 t

n = 1 \sum \infty cos (e^{- n})