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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 3/(ss^2+8ss+18s)

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{3}{s s ^{2} + 8 ss + 18 s}

解答

\frac{1}{6} H (t) - \frac{1}{6} e^{- 4 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 4 t} sin ( 2 t )}{3}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{3}{s ^{2} s + 8 ss + 18 s}}

将

\frac{3}{s s ^{2} + 8 ss + 18 s}

用部份分式展开:

\frac{1}{6 s} + \frac{- s - 8}{6 ( s ^{2} + 8 s + 18 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{6 s} + \frac{- s - 8}{6 ( s ^{2} + 8 s + 18 )}}

展开

\frac{- s - 8}{6 ( s ^{2} + 8 s + 18 )} : - \frac{1}{6} \cdot \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 2}

= L^{- 1} {\frac{1}{6 s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 2}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{6 s}} - \frac{1}{6} L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 2}} - \frac{2}{3} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{6 s}} : \frac{1}{6} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 2}} : e^{- 4 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 2}} : e^{- 4 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{6} H (t) - \frac{1}{6} e^{- 4 t} cos (2 t) - \frac{2}{3} e^{- 4 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

整理

\frac{1}{6} H (t) - \frac{1}{6} e^{- 4 t} cos (2 t) - \frac{2}{3} e^{- 4 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{6} H (t) - \frac{1}{6} e^{- 4 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 4 t} sin ( 2 t )}{3}

= \frac{1}{6} H (t) - \frac{1}{6} e^{- 4 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 4 t} sin ( 2 t )}{3}

流行的例子

d/(d{x)}(4{x}-3{x}^2-{y}^2-({z}-1)^2)

\frac{d}{d x} (4 x - 3 x^{2} - y^{2} - (z - 1)^{2})

derivative sqrt(3/x)-e^4

d er i v a t i v e \frac{3}{x} - e^{4}

derivative of-5x(2x-3^4)

\frac{d}{d x} (- 5 x (2 x - 3)^{4})

(\partial)/(\partial v)({u}(v,w)+v*e^w)

\frac{\partial}{\partial v} (u (v, w) + v \cdot e^{w})

integral of sin(2x)e^x

\int sin (2 x) e^{x} d x