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integral of (3cos(x))/(sin^2(x)+sin(x))

Lösung

\int \frac{3 cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

- 3 (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int \frac{cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int - \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 (- \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u)

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= 3 (- \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (- (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u))

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= 3 (- (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣))

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= 3 (- (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1))

Vereinfache

= - 3 (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 3 (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1) + C

n = 3 \sum \infty \frac{n}{e ^{3 n}}

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4})

a re a y = x^{2} - 7 x + 6, x = 2, x = 6

x \to - 5 lim (\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{x}}{5 + x})

x \to 1 lim (\frac{1}{( 1 - x )})