integral of sqrt(16-4x^2)

Lösung

\int 16 - 4 x^{2} d x

4 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2}))) + C

Schritte zur Lösung

\int 16 - 4 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 8 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 8 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{4} x)

ein

= 8 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{4} x)))

Vereinfache

8 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{4} x))) : 4 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2})))

= 4 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{2}))) + C

d er i v a t i v e \frac{1}{2} sec (2 x)

\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 x^{2} ln (x)

a re a y = \frac{3}{x}, y = \frac{x}{12}, 1 \leq x \leq 6

x \to 0 lim (- 1 + \frac{1}{x})

\int_{2}^{3} \frac{16}{3 - x} d x