integral of (2x)/(x^2+2x+1)

Lösung

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 2 x + 1} d x

2 (ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 2 x + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x + 1 : (x + 1)^{2}

= 2 \cdot \int \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u - 1}{u ^{2}} d u

Multipliziere aus

\frac{u - 1}{u ^{2}} : \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}}

= 2 \cdot \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u ^{2}} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

= 2 (ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{u}))

Setze in

u = x + 1

ein

= 2 (ln ∣ x + 1 ∣ - (- \frac{1}{x + 1}))

Vereinfache

= 2 (ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}) + C

\int 2 x ln (x^{3}) d x

\int x 2 - 5 x d x

\int (3 x^{4} - 3 x) d x

\int \frac{1}{( x + 3 ) x + 2} d x

\int cos (\frac{π}{4} x) d x