integral of sin^4(6x)cos^2(6x)

Lösung

\int sin^{4} (6 x) cos^{2} (6 x) d x

\frac{1}{576} (36 x - 3 sin (12 x) - 4 sin^{3} (6 x) cos (6 x) + 16 sin^{5} (6 x) cos (6 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (6 x) cos^{2} (6 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) cos^{2} (u) \frac{1}{6} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{6} \cdot \int sin^{4} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{6} \cdot \int sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u)) d u

Multipliziere aus

sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u)) : sin^{4} (u) - sin^{6} (u)

= \frac{1}{6} \cdot \int sin^{4} (u) - sin^{6} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{6} (\int sin^{4} (u) d u - \int sin^{6} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

\int sin^{6} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

= \frac{1}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)) - (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))))

Setze in

u = 6 x

ein

= \frac{1}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (6 x) cos (6 x) + \frac{3}{8} (6 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 6 x)) - (- \frac{cos ( 6 x ) sin ^{5} ( 6 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (6 x) cos (6 x) + \frac{3}{8} (6 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 6 x)))))

Vereinfache

\frac{1}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (6 x) cos (6 x) + \frac{3}{8} (6 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 6 x)) - (- \frac{cos ( 6 x ) sin ^{5} ( 6 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (6 x) cos (6 x) + \frac{3}{8} (6 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 6 x))))) : \frac{1}{576} (36 x - 3 sin (12 x) - 4 sin^{3} (6 x) cos (6 x) + 16 sin^{5} (6 x) cos (6 x))

= \frac{1}{576} (36 x - 3 sin (12 x) - 4 sin^{3} (6 x) cos (6 x) + 16 sin^{5} (6 x) cos (6 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{576} (36 x - 3 sin (12 x) - 4 sin^{3} (6 x) cos (6 x) + 16 sin^{5} (6 x) cos (6 x)) + C

\int t^{2} e^{7 t} d t

\int (\frac{- 4 x - 2}{( x - 3 ) ^{2}}) d x

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + 3 cos ( x )} d x

\int t t^{2} + 1 d t

\int \frac{( 1 - x )}{( 1 + x )} d x