integral of sqrt(7x^2-9)

Lösung

\int 7 x^{2} - 9 d x

\frac{1}{2} x 7 x^{2} - 9 - \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{7} ln (\frac{7 x + 7 x ^{2} - 9}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int 7 x^{2} - 9 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{9}{7} tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{9}{7} \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{9}{7} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= \frac{9}{7} \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{9}{7} (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{9}{7} (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{7}{3} x)

ein

= \frac{9}{7} (- ln tan (arcsec (\frac{7}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{7}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{7}{3} x)) tan (arcsec (\frac{7}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{7}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{7}{3} x)))

Vereinfache

\frac{9}{7} (- ln tan (arcsec (\frac{7}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{7}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{7}{3} x)) tan (arcsec (\frac{7}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{7}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{7}{3} x))) : \frac{1}{2} x 7 x^{2} - 9 - \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{7} ln (\frac{7 x + 7 x ^{2} - 9}{3})

= \frac{1}{2} x 7 x^{2} - 9 - \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{7} ln (\frac{7 x + 7 x ^{2} - 9}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} x 7 x^{2} - 9 - \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{7} ln (\frac{7 x + 7 x ^{2} - 9}{3}) + C

\int (x^{2} + cos (x)) d x

\int cos (y) sin (y) + y^{2} d y

\int 4 cos (5 x) d x

in t e g r a l \frac{1}{x ^{2} + 1}

\int 7^{x} sin (7^{x}) d x