inverselaplace 3/(s*(s^2+2s+5))

解

逆ラプラス

\frac{3}{s \cdot ( s ^{2} + 2 s + 5 )}

\frac{3}{5} H (t) - \frac{3}{5} e^{- t} cos (2 t) - \frac{3}{10} e^{- t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 5 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 5 )} : \frac{3}{5 s} + \frac{- 3 s - 6}{5 ( s ^{2} + 2 s + 5 )}

= L^{- 1} {\frac{3}{5 s} + \frac{- 3 s - 6}{5 ( s ^{2} + 2 s + 5 )}}

拡張

\frac{- 3 s - 6}{5 ( s ^{2} + 2 s + 5 )} : - \frac{3}{5} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{3}{5 s} - \frac{3}{5} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{3}{5 s}} - \frac{3}{5} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} - \frac{3}{5} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{3}{5 s}} : \frac{3}{5} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{3}{5} H (t) - \frac{3}{5} e^{- t} cos (2 t) - \frac{3}{5} e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{3}{5} H (t) - \frac{3}{5} e^{- t} cos (2 t) - \frac{3}{5} e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{3}{5} H (t) - \frac{3}{5} e^{- t} cos (2 t) - \frac{3}{10} e^{- t} sin (2 t)

= \frac{3}{5} H (t) - \frac{3}{5} e^{- t} cos (2 t) - \frac{3}{10} e^{- t} sin (2 t)