integral of (2x^2-3x+3)/(x^3-2x^2+x)

解

\int \frac{2 x ^{2} - 3 x + 3}{x ^{3} - 2 x ^{2} + x} d x

3 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{2}{x - 1} + C

解答ステップ

\int \frac{2 x ^{2} - 3 x + 3}{x ^{3} - 2 x ^{2} + x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{2 x ^{2} - 3 x + 3}{x ^{3} - 2 x ^{2} + x} : \frac{3}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}}

= \int \frac{3}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3}{x} d x - \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{3}{x} d x = 3 ln ∣ x ∣

\int \frac{1}{x - 1} d x = ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{2}{( x - 1 ) ^{2}} d x = - \frac{2}{x - 1}

= 3 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{2}{x - 1}

定数を解答に追加する

= 3 ln ∣ x ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{2}{x - 1} + C