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受欢迎的微积分 >

integral of cos(kt)e^{-st}

解答

\int cos (k t) e^{- s t} d t

解答

\frac{k e ^{- s t} sin ( k t )}{k ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( k t )}{k ^{2} + s ^{2}} + C

求解步骤

\int cos (k t) e^{- s t} d t

使用分布积分法

= e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - \int - s e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - (- s \frac{1}{k} \cdot \int e^{- s t} sin (k t) d t)

化简

- s \frac{1}{k} : - \frac{s}{k}

= e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - (- \frac{s}{k} \cdot \int e^{- s t} sin (k t) d t)

使用分布积分法

= e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - (- \frac{s}{k} (- e^{- s t} \frac{1}{k} cos (k t) - \int s e^{- s t} \frac{1}{k} cos (k t) d t))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - (- \frac{s}{k} (- e^{- s t} \frac{1}{k} cos (k t) - s \frac{1}{k} \cdot \int e^{- s t} cos (k t) d t))

化简

s \frac{1}{k} : \frac{s}{k}

= e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - (- \frac{s}{k} (- e^{- s t} \frac{1}{k} cos (k t) - \frac{s}{k} \cdot \int e^{- s t} cos (k t) d t))

因此

\int e^{- s t} cos (k t) d t = e^{- s t} \frac{1}{k} sin (k t) - (- \frac{s}{k} (- e^{- s t} \frac{1}{k} cos (k t) - \frac{s}{k} \cdot \int e^{- s t} cos (k t) d t))

整理

\int e^{- s t} cos (k t) d t

= \frac{k e ^{- s t} sin ( k t )}{k ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( k t )}{k ^{2} + s ^{2}}

解答补常数

= \frac{k e ^{- s t} sin ( k t )}{k ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( k t )}{k ^{2} + s ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of ksqrt(x)

\int k x d x

integral of (x-1)^5+3(x-1)^2+5

\int (x - 1)^{5} + 3 (x - 1)^{2} + 5 d x

integral of (x+5)(x-2)

\int (x + 5) (x - 2) d x

integral of-(1800)/(x^2)

\int - \frac{1800}{x ^{2}} d x

integral of 1/(xln^n(x))

\int \frac{1}{x ln ^{n} ( x )} d x