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integral of x^2e^{-2ax}

Lösung

\int x^{2} e^{- 2 a x} d x

Lösung

- \frac{e ^{- 2 a x} ( 2 a ^{2} x ^{2} + 2 a x + 1 )}{4 a ^{3}} + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} e^{- 2 a x} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{ln ^{2} ( u )}{8 a ^{3}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{8 a ^{3}} \cdot \int ln^{2} (u) d u

Wende die partielle Integration an

= - \frac{1}{8 a ^{3}} (u ln^{2} (u) - \int 2 ln (u) d u)

\int 2 ln (u) d u = 2 (u ln (u) - u)

= - \frac{1}{8 a ^{3}} (u ln^{2} (u) - 2 (u ln (u) - u))

Setze in

u = e^{- 2 a x}

ein

= - \frac{1}{8 a ^{3}} (e^{- 2 a x} ln^{2} (e^{- 2 a x}) - 2 (e^{- 2 a x} ln (e^{- 2 a x}) - e^{- 2 a x}))

Vereinfache

- \frac{1}{8 a ^{3}} (e^{- 2 a x} ln^{2} (e^{- 2 a x}) - 2 (e^{- 2 a x} ln (e^{- 2 a x}) - e^{- 2 a x})) : - \frac{e ^{- 2 a x} ( 2 a ^{2} x ^{2} + 2 a x + 1 )}{4 a ^{3}}

= - \frac{e ^{- 2 a x} ( 2 a ^{2} x ^{2} + 2 a x + 1 )}{4 a ^{3}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{e ^{- 2 a x} ( 2 a ^{2} x ^{2} + 2 a x + 1 )}{4 a ^{3}} + C

Graph

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