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integral of sqrt(x^2-3x)

Lösung

\int x^{2} - 3 x d x

\frac{1}{8} 2 (2 x - 3) x (x - 3) - 9 ln \frac{2 x + 2 x ( x - 3 ) - 3}{3} + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 3 x d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 3 x : (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}

= \int (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4 u ^{2} - 9}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 4 u^{2} - 9 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{9}{2} tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} (- ln tan (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) tan (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} (- ln tan (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) tan (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{3} (x - \frac{3}{2})))) : \frac{1}{8} 2 (2 x - 3) x (x - 3) - 9 ln \frac{2 x + 2 x ( x - 3 ) - 3}{3}

= \frac{1}{8} 2 (2 x - 3) x (x - 3) - 9 ln \frac{2 x + 2 x ( x - 3 ) - 3}{3}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} 2 (2 x - 3) x (x - 3) - 9 ln \frac{2 x + 2 x ( x - 3 ) - 3}{3} + C

\int \frac{5 x}{x} d x

\int (\frac{3}{x} - \frac{2}{x ^{2}}) d x

\int \frac{3}{5 y + 4} d y

\int - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 d x

\int e^{\frac{- x ^{2}}{4}} d x