integral of sin^2((npi)/a x)

Lösung

\int sin^{2} (\frac{nπ}{a} x) d x

\frac{x}{2} - \frac{a}{4 πn} sin (2 \cdot \frac{πn}{a} x) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{2} (\frac{nπ}{a} x) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{a sin ^{2} ( u )}{πn} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{a}{πn} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{a}{πn} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{a}{πn} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{a}{πn} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{a}{πn} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = \frac{nπ}{a} x

ein

= \frac{a}{πn} \cdot \frac{1}{2} (\frac{nπ}{a} x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{nπ}{a} x))

Vereinfache

\frac{a}{πn} \cdot \frac{1}{2} (\frac{nπ}{a} x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{nπ}{a} x)) : \frac{x}{2} - \frac{a}{4 πn} sin (2 \cdot \frac{πn}{a} x)

= \frac{x}{2} - \frac{a}{4 πn} sin (2 \cdot \frac{πn}{a} x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{2} - \frac{a}{4 πn} sin (2 \cdot \frac{πn}{a} x) + C

\int \frac{x ^{2}}{( 9 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\int cos (x) \cdot sec (x) d x

\int \frac{1}{x y ^{2}} d y

\int \frac{5}{y ln ( y )} + x sin (y) + x d y

\int \frac{x + 2}{x ( x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d x