integral of (sin(2x))/(2+sin(x))

Lösung

\int \frac{sin ( 2 x )}{2 + sin ( x )} d x

2 (2 + sin (x) - 2 ln ∣ 2 + sin (x) ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( 2 x )}{2 + sin ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{2 + sin ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{cos ( x ) sin ( x )}{2 + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u}{2 + u} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{v - 2}{v} d v

Multipliziere aus

\frac{v - 2}{v} : 1 - \frac{2}{v}

= 2 \cdot \int 1 - \frac{2}{v} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int 1 d v - \int \frac{2}{v} d v)

\int 1 d v = v

\int \frac{2}{v} d v = 2 ln ∣ v ∣

= 2 (v - 2 ln ∣ v ∣)

Ersetze zurück

= 2 (2 + sin (x) - 2 ln ∣ 2 + sin (x) ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (2 + sin (x) - 2 ln ∣ 2 + sin (x) ∣) + C

\int e^{0.1 t} d t

\int [arcsin (x)]^{2} d x

\int (3 x^{2} + y) d x

\int \frac{- 1}{cos ^{2} ( x )} d x

\int (x + 2) (x - 1) (x - 3) d x