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Popolare Calcoli >

integral of (x^2)/(x^3+4x^2+6x)

Soluzione

\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 4 x ^{2} + 6 x} d x

Soluzione

\frac{1}{2} ln \frac{1}{2} (x + 2)^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 2)) + C

Fasi della soluzione

\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 4 x ^{2} + 6 x} d x

Fattorizza

\frac{x ^{2}}{x ^{3} + 4 x ^{2} + 6 x}

= \int \frac{x ^{2}}{x ( x ^{2} + 4 x + 6 )} d x

Cancella il fattore comune:

x

= \int \frac{x}{x ^{2} + 4 x + 6} d x

Completa il quadrato

x^{2} + 4 x + 6 : (x + 2)^{2} + 2

= \int \frac{x}{( x + 2 ) ^{2} + 2} d x

Applicare la sostituzione u

= \int \frac{u - 2}{u ^{2} + 2} d u

Applicare la sostituzione integrale

= \int \frac{v - 2}{v ^{2} + 1} d v

Espandi

\frac{v - 2}{v ^{2} + 1} : \frac{v}{v ^{2} + 1} - \frac{2}{v ^{2} + 1}

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{v}{v ^{2} + 1} d v - \int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v

\int \frac{v}{v ^{2} + 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} + 1

\int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v = 2 arctan (v)

= \frac{1}{2} ln v^{2} + 1 - 2 arctan (v)

Sostituisci indietro

= \frac{1}{2} ln (\frac{x + 2}{2})^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{x + 2}{2})

Semplificare

\frac{1}{2} ln (\frac{x + 2}{2})^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{x + 2}{2}) : \frac{1}{2} ln \frac{1}{2} (x + 2)^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 2))

= \frac{1}{2} ln \frac{1}{2} (x + 2)^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 2))

Aggiungi una costante alla soluzione

= \frac{1}{2} ln \frac{1}{2} (x + 2)^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 2)) + C

Grafico

Esempi popolari

integral of (tan(x)+x^{-1}-2x+3)

\int (tan (x) + x^{- 1} - 2 x + 3) d x

integral of 1/(100+2x)

\int \frac{1}{100 + 2 x} d x

integral of (sqrt(x)+x^2)

\int (x + x^{2}) d x

integral of (sqrt(3x)+1)^2

\int (3 x + 1)^{2} d x

integral of 2x^{-1}+5

\int 2 x^{- 1} + 5 d x