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integral of 4x^3e^{-2x^2}

解答

\int 4 x^{3} e^{- 2 x^{2}} d x

解答

\frac{1}{2} (- 2 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - e^{- 2 x^{2}}) + C

求解步骤

\int 4 x^{3} e^{- 2 x^{2}} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int x^{3} e^{- 2 x^{2}} d x

使用换元积分法

= 4 \cdot \int \frac{e ^{- 2 u^{\frac{2}{3}}} u ^{\frac{1}{3}}}{3} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int e^{- 2 u^{\frac{2}{3}}} u^{\frac{1}{3}} d u

使用换元积分法

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{3 e ^{- 2 v} v}{2} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \int e^{- 2 v} v d v

使用换元积分法

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \int \frac{e ^{w} w}{4} d w

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \int e^{w} w d w

使用分布积分法

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} (e^{w} w - \int e^{w} d w)

\int e^{w} d w = e^{w}

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} (e^{w} w - e^{w})

代回

= 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} (e^{- 2 (x^{3})^{\frac{2}{3}}} (- 2 (x^{3})^{\frac{2}{3}}) - e^{- 2 (x^{3})^{\frac{2}{3}}})

化简

4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} (e^{- 2 (x^{3})^{\frac{2}{3}}} (- 2 (x^{3})^{\frac{2}{3}}) - e^{- 2 (x^{3})^{\frac{2}{3}}}) : \frac{1}{2} (- 2 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - e^{- 2 x^{2}})

= \frac{1}{2} (- 2 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - e^{- 2 x^{2}})

解答补常数

= \frac{1}{2} (- 2 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - e^{- 2 x^{2}}) + C

作图

流行的例子

integral of cot^6(3x)

\int cot^{6} (3 x) d x

integral of x^3sqrt(x+3)

\int x^{3} x + 3 d x

integral of (x^2+1)e^{-x+2}

\int (x^{2} + 1) e^{- x + 2} d x

integral of sqrt((3x+2)/(x-3))

\int \frac{3 x + 2}{x - 3} d x

integral of (x+2)/(\sqrt[3]{x)}

\int \frac{x + 2}{3 x} d x