integral from 0 to y of 2e^{-(x+y)}

解

\int_{0}^{y} 2 e^{- (x + y)} d x

- 2 (e^{- 2 y} - e^{- y})

解答ステップ

\int_{0}^{y} 2 e^{- (x + y)} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{y} e^{- (y + x)} d x

u置換積分法を適用する

= 2 \cdot \int_{- y}^{- 2 y} - e^{u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int_{- y}^{- 2 y} e^{u} d u)

共通積分を使用する:

\int e^{u} d u = e^{u}

= 2 (- [e^{u}]_{- y}^{- 2 y})

簡素化

= - 2 [e^{u}]_{- y}^{- 2 y}

限度を計算する:

e^{- 2 y} - e^{- y}

= - 2 (e^{- 2 y} - e^{- y})