integral from 0 to pi/4 of tan^3(θ)

解

\int_{0}^{\frac{π}{4}} tan^{3} (θ) d θ

- \frac{1}{2} ln (2) + \frac{1}{2}

十進法表記

0.15342 \dots

解答ステップ

\int_{0}^{\frac{π}{4}} tan^{3} (θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int_{0}^{\frac{π}{4}} (- 1 + sec^{2} (θ)) tan (θ) d θ

u置換積分法を適用する

= \int_{1}^{2} \frac{- 1 + u ^{2}}{u} d u

拡張

\frac{- 1 + u ^{2}}{u} : - \frac{1}{u} + u

= \int_{1}^{2} - \frac{1}{u} + u d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u + \int_{1}^{2} u d u

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} ln (2)

\int_{1}^{2} u d u = \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} ln (2) + \frac{1}{2}