интеграл с 0 до (2pi)/ω от tsin(ω)t

Решение

\int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} t sin (ω) t d t

\frac{8 π ^{3} sin ( ω )}{3 ω ^{3}}

Шаги решения

\int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} t sin (ω) t d t

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= sin (ω) \cdot \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} tt d t

Упростить

tt : t^{2}

= sin (ω) \cdot \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} t^{2} d t

Применить правило показателя степени

= sin (ω) [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{\frac{2 π}{ω}}

Вычислить границы:

\frac{8 π ^{3}}{3 ω ^{3}}

= sin (ω) \frac{8 π ^{3}}{3 ω ^{3}}

После упрощения получаем

= \frac{8 π ^{3} sin ( ω )}{3 ω ^{3}}