integral from 0 to 1 of sqrt(2x+x^2)

Soluzione

\int_{0}^{1} 2 x + x^{2} d x

- \frac{1}{2} ln (2 + 3) + 3

Decimale

1.07357 \dots

Fasi della soluzione

\int_{0}^{1} 2 x + x^{2} d x

Completa il quadrato

2 x + x^{2} : (x + 1)^{2} - 1

= \int_{0}^{1} (x + 1)^{2} - 1 d x

Applicare la sostituzione u

= \int_{1}^{2} u^{2} - 1 d u

Applicazione della sostituzione trigonometrica

= \int_{0}^{\frac{π}{3}} tan^{2} (v) sec (v) d v

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Espandi

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \int_{0}^{\frac{π}{3}} - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int_{0}^{\frac{π}{3}} sec (v) d v + \int_{0}^{\frac{π}{3}} sec^{3} (v) d v

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sec (v) d v = ln (2 + 3)

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sec^{3} (v) d v = 3 + \frac{1}{2} ln (2 + 3)

= - ln (2 + 3) + 3 + \frac{1}{2} ln (2 + 3)

Semplificare

- ln (2 + 3) + 3 + \frac{1}{2} ln (2 + 3) : - \frac{1}{2} ln (2 + 3) + 3

= - \frac{1}{2} ln (2 + 3) + 3

\int_{16}^{36} x d x

\int_{0}^{x} sin (y) d y

\int_{- e - 1}^{- 2} \frac{1}{x + 1} d x

\int_{0}^{π} 6 sin (t) d t

\int_{- 2}^{1} x^{2} - 2 x + 3 d x