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人気のある微分積分 >

integral of 1/(2y+y^2)

解

\int \frac{1}{2 y + y ^{2}} d y

解

- \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{1}{2 y + y ^{2}} d y

平方完成する

2 y + y^{2} : (y + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( y + 1 ) ^{2} - 1} d y

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因数

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

代用を戻す

u = y + 1

= - (\frac{ln ∣ y + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y + 1 - 1 ∣}{2})

簡素化

- (\frac{ln ∣ y + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y + 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + C

グラフ

人気の例

(\partial)/(\partial x)(2x^4y+sin(x^3))

\frac{\partial}{\partial x} (2 x^{4} y + sin (x^{3}))

integral from 0 to 3pi of 5x^2sin(1/6 x)

\int_{0}^{3 π} 5 x^{2} sin (\frac{1}{6} x) d x

derivative (sqrt(x))/(4+x)

d er i v a t i v e \frac{x}{4 + x}

integral of 8te^t

\int 8 t e^{t} d t

derivative of 2csc(2x)

\frac{d}{d x} (2 csc (2 x))