integral of (x^2+1)/((x-8)(x-7)^2)

解

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x - 8 ) ( x - 7 ) ^{2}} d x

65 ln ∣ x - 8 ∣ - 64 ln ∣ x - 7 ∣ + \frac{50}{x - 7} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x - 8 ) ( x - 7 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2} + 1}{( x - 8 ) ( x - 7 ) ^{2}} : \frac{65}{x - 8} - \frac{64}{x - 7} - \frac{50}{( x - 7 ) ^{2}}

= \int \frac{65}{x - 8} - \frac{64}{x - 7} - \frac{50}{( x - 7 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{65}{x - 8} d x - \int \frac{64}{x - 7} d x - \int \frac{50}{( x - 7 ) ^{2}} d x

\int \frac{65}{x - 8} d x = 65 ln ∣ x - 8 ∣

\int \frac{64}{x - 7} d x = 64 ln ∣ x - 7 ∣

\int \frac{50}{( x - 7 ) ^{2}} d x = - \frac{50}{x - 7}

= 65 ln ∣ x - 8 ∣ - 64 ln ∣ x - 7 ∣ - (- \frac{50}{x - 7})

簡素化

= 65 ln ∣ x - 8 ∣ - 64 ln ∣ x - 7 ∣ + \frac{50}{x - 7}

定数を解答に追加する

= 65 ln ∣ x - 8 ∣ - 64 ln ∣ x - 7 ∣ + \frac{50}{x - 7} + C