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受欢迎的微积分 >

积分 sin^7(x)

解答

积分

sin^{7} (x)

解答

- cos (x) + cos^{3} (x) - \frac{3 cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{cos ^{7} ( x )}{7} + C

求解步骤

\int sin^{7} (x) d x

使用三角恒等式改写

= \int (1 - cos^{2} (x))^{3} sin (x) d x

使用换元积分法

= \int - (1 - u^{2})^{3} d u

乘开

- (1 - u^{2})^{3} : - 1 + 3 u^{2} - 3 u^{4} + u^{6}

= \int - 1 + 3 u^{2} - 3 u^{4} + u^{6} d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int 1 d u + \int 3 u^{2} d u - \int 3 u^{4} d u + \int u^{6} d u

\int 1 d u = u

\int 3 u^{2} d u = u^{3}

\int 3 u^{4} d u = \frac{3 u ^{5}}{5}

\int u^{6} d u = \frac{u ^{7}}{7}

= - u + u^{3} - \frac{3 u ^{5}}{5} + \frac{u ^{7}}{7}

u = cos (x)

代回

= - cos (x) + cos^{3} (x) - \frac{3 cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{cos ^{7} ( x )}{7}

解答补常数

= - cos (x) + cos^{3} (x) - \frac{3 cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{cos ^{7} ( x )}{7} + C

作图

流行的例子

积分 ((x+5))/((x^2+8x+17))

in t e g r a l \frac{( x + 5 )}{( x ^{2} + 8 x + 17 )}

in t e g r a l - 3 y^{2}

in t e g r a l - 2 e^{- x}

in t e g r a l e^{2} x + 1

积分 e^{(-2r)/a}

in t e g r a l e^{\frac{- 2 r}{a}}