integral of a/((x^2+a^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{a}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{a ( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{a}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a \cdot \int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= a \cdot \int \frac{1}{a ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= a \frac{1}{a ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{a} x)

ein

= a \frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} x))

Vereinfache

a \frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} x)) : \frac{x}{a ( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{a ( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{a ( x ^{2} + a ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int (x^{3} - 2)^{2} d x

\int \frac{12 x ^{2} - 6 x + 2}{( 4 x + 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x

\int \frac{1}{( 3 x + 1 ) ^{6}} d x

\int cos (13 - 2 y) d y

\int \frac{x ^{3}}{( x + 1 ) ^{4}} d x