integral of 4^xe^{-x}

解答

\int 4^{x} e^{- x} d x

- 4^{x} e^{- x} - \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) e^{- (- 2 l n (2) + 1) x} + C

求解步骤

\int 4^{x} e^{- x} d x

使用换元积分法

= \int - 4^{- l n (u)} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int 4^{- l n (u)} d u

使用分布积分法

= - (4^{- l n (u)} u - \int - \frac{2 ln ( 2 )}{u ^{2 l n (2)}} d u)

\int - \frac{2 ln ( 2 )}{u ^{2 l n (2)}} d u = - \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) u^{- 2 l n (2) + 1}

= - (4^{- l n (u)} u - (- \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) u^{- 2 l n (2) + 1}))

u = e^{- x}

代回

= - (4^{- l n (e^{- x})} e^{- x} - (- \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) (e^{- x})^{- 2 l n (2) + 1}))

化简

- (4^{- l n (e^{- x})} e^{- x} - (- \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) (e^{- x})^{- 2 l n (2) + 1})) : - 4^{x} e^{- x} - \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) e^{- (- 2 l n (2) + 1) x}

= - 4^{x} e^{- x} - \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) e^{- (- 2 l n (2) + 1) x}

解答补常数

= - 4^{x} e^{- x} - \frac{2}{- 2 ln ( 2 ) + 1} ln (2) e^{- (- 2 l n (2) + 1) x} + C

\int 2 x (ln (x))^{3} d x

\int \frac{x + 1}{( x + 3 ) ( x - 2 )} d x

\int \frac{1}{4 + 81 x ^{2}} d x

\int (3 + 2 x y) d x

\int e^{x} - cos (x) + 6 x + 4 d x