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integral of 4sin(x/3)cos(x)

解答

\int 4 sin (\frac{x}{3}) cos (x) d x

解答

- \frac{3}{2} cos (\frac{4 x}{3}) + 3 cos (\frac{2 x}{3}) + C

求解步骤

\int 4 sin (\frac{x}{3}) cos (x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sin (\frac{x}{3}) cos (x) d x

利用以下特性:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= 4 \cdot \int \frac{sin ( \frac{x}{3} + x ) + sin ( \frac{x}{3} - x )}{2} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sin (\frac{x}{3} + x) + sin (\frac{x}{3} - x) d x

化简

sin (\frac{x}{3} + x) + sin (\frac{x}{3} - x) : sin (\frac{4 x}{3}) - sin (\frac{2 x}{3})

= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sin (\frac{4 x}{3}) - sin (\frac{2 x}{3}) d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} (\int sin (\frac{4 x}{3}) d x - \int sin (\frac{2 x}{3}) d x)

\int sin (\frac{4 x}{3}) d x = - \frac{3}{4} cos (\frac{4 x}{3})

\int sin (\frac{2 x}{3}) d x = - \frac{3}{2} cos (\frac{2 x}{3})

= 4 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{3}{4} cos (\frac{4 x}{3}) - (- \frac{3}{2} cos (\frac{2 x}{3})))

化简

4 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{3}{4} cos (\frac{4 x}{3}) - (- \frac{3}{2} cos (\frac{2 x}{3}))) : - \frac{3}{2} cos (\frac{4 x}{3}) + 3 cos (\frac{2 x}{3})

= - \frac{3}{2} cos (\frac{4 x}{3}) + 3 cos (\frac{2 x}{3})

解答补常数

= - \frac{3}{2} cos (\frac{4 x}{3}) + 3 cos (\frac{2 x}{3}) + C

作图

流行的例子

integral of-0.00006x^2+6

\int - 0.00006 x^{2} + 6 d x

integral of (sec^2(x))/(2+tan(x))

\int \frac{sec ^{2} ( x )}{2 + tan ( x )} d x

integral of (3x)/(\sqrt[3]{x^2+8)}

\int \frac{3 x}{3 x ^{2} + 8} d x

integral of ln(3x^3)

\int ln (3 x^{3}) d x

integral of (-x)^2

\int (- x)^{2} d x