integral of e^{2x}(e^x-2)^3

解答

\int e^{2 x} (e^{x} - 2)^{3} d x

\frac{1}{5} e^{5 x} - \frac{3}{2} e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 4 e^{2 x} + C

求解步骤

\int e^{2 x} (e^{x} - 2)^{3} d x

乘开

e^{2 x} (e^{x} - 2)^{3} : e^{5 x} - 6 e^{4 x} + 12 e^{3 x} - 8 e^{2 x}

= \int e^{5 x} - 6 e^{4 x} + 12 e^{3 x} - 8 e^{2 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{5 x} d x - \int 6 e^{4 x} d x + \int 12 e^{3 x} d x - \int 8 e^{2 x} d x

\int e^{5 x} d x = \frac{1}{5} e^{5 x}

\int 6 e^{4 x} d x = \frac{3}{2} e^{4 x}

\int 12 e^{3 x} d x = 4 e^{3 x}

\int 8 e^{2 x} d x = 4 e^{2 x}

= \frac{1}{5} e^{5 x} - \frac{3}{2} e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 4 e^{2 x}

解答补常数

= \frac{1}{5} e^{5 x} - \frac{3}{2} e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 4 e^{2 x} + C

\int \frac{1}{2 e ^{u}} d u

\int \frac{1}{2} x sinh (2 x) d x

\int (4 x^{2} - 5 x + 1) d x

\int (2 x^{2} - 3 x + 1) e^{- 3 x} d x

\int (x^{2} - 6 x + 10) d x