integral of e^x(5-2e^x)^2

解

\int e^{x} (5 - 2 e^{x})^{2} d x

25 e^{x} - 10 e^{2 x} + \frac{4}{3} e^{3 x} + C

解答ステップ

\int e^{x} (5 - 2 e^{x})^{2} d x

5 - 2 e^{x} = 5 (1 - \frac{2 e ^{x}}{5})

= \int e^{x} (5 (1 - \frac{2 e ^{x}}{5}))^{2} d x

簡素化

e^{x} (5 (1 - \frac{2 e ^{x}}{5}))^{2} : 25 e^{x} - 20 e^{2 x} + 4 e^{3 x}

= \int 25 e^{x} - 20 e^{2 x} + 4 e^{3 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 25 e^{x} d x - \int 20 e^{2 x} d x + \int 4 e^{3 x} d x

\int 25 e^{x} d x = 25 e^{x}

\int 20 e^{2 x} d x = 10 e^{2 x}

\int 4 e^{3 x} d x = \frac{4}{3} e^{3 x}

= 25 e^{x} - 10 e^{2 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}

定数を解答に追加する

= 25 e^{x} - 10 e^{2 x} + \frac{4}{3} e^{3 x} + C