integral of e^{(-x^2)/a}

解

\int e^{\frac{- x ^{2}}{a}} d x

a \frac{π}{2} erf (\frac{x}{a}) + C

解答ステップ

\int e^{\frac{- x ^{2}}{a}} d x

簡素化

= \int e^{- \frac{x ^{2}}{a}} d x

指数の規則を適用する:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{a} = (\frac{x}{a})^{2}

= \int e^{- (\frac{x}{a})^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int e^{- u^{2}} a d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a \cdot \int e^{- u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= a \frac{π}{2} erf (u)

代用を戻す

u = \frac{x}{a}

= a \frac{π}{2} erf (\frac{x}{a})

定数を解答に追加する

= a \frac{π}{2} erf (\frac{x}{a}) + C