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integral of tan^2(arctan(x)

解答

\int tan^{2} (arctan (d) x) d x

解答

- x + \frac{1}{arctan ( d )} tan (x arctan (d)) + C

求解步骤

\int tan^{2} (arctan (d) x) d x

使用换元积分法

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{arctan ( d )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{arctan ( d )} \cdot \int tan^{2} (u) d u

使用三角恒等式改写

= \frac{1}{arctan ( d )} \cdot \int - 1 + sec^{2} (u) d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{arctan ( d )} (- \int 1 d u + \int sec^{2} (u) d u)

\int 1 d u = u

\int sec^{2} (u) d u = tan (u)

= \frac{1}{arctan ( d )} (- u + tan (u))

u = arctan (d) x

代回

= \frac{1}{arctan ( d )} (- arctan (d) x + tan (arctan (d) x))

化简

\frac{1}{arctan ( d )} (- arctan (d) x + tan (arctan (d) x)) : - x + \frac{1}{arctan ( d )} tan (x arctan (d))

= - x + \frac{1}{arctan ( d )} tan (x arctan (d))

解答补常数

= - x + \frac{1}{arctan ( d )} tan (x arctan (d)) + C

作图

流行的例子

integral of (1+2x)^{1/2}

\int (1 + 2 x)^{\frac{1}{2}} d x

integral of 1/(4+sqrt(2x))

\int \frac{1}{4 + 2 x} d x

integral of (z+5)/(z(z^2+49))

\int \frac{z + 5}{z ( z ^{2} + 49 )} d z

integral of x^5sin(x^3)

\int x^{5} sin (x^{3}) d x

integral of (x^2-6)^6*x

\int (x^{2} - 6)^{6} \cdot x d x