integral from 0 to pi/3 of sin^3(θ)

解

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sin^{3} (θ) d θ

\frac{5}{24}

十進法表記

0.20833 \dots

解答ステップ

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sin^{3} (θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int_{0}^{\frac{π}{3}} (1 - cos^{2} (θ)) sin (θ) d θ

u置換積分法を適用する

= \int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 + u^{2} d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 1 + u^{2} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1 d u + \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u)

\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1 d u = \frac{1}{2}

\int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u = \frac{7}{24}

= - (- \frac{1}{2} + \frac{7}{24})

簡素化

- (- \frac{1}{2} + \frac{7}{24}) : \frac{5}{24}

= \frac{5}{24}