integral de 0 a x de t^6sqrt(1+t^7)

Solução

\int_{0}^{x} t^{6} 1 + t^{7} d t

\frac{2 ( x ^{7} + 1 ) ^{\frac{3}{2}} - 2}{21}

Passos da solução

\int_{0}^{x} t^{6} 1 + t^{7} d t

Aplicar integração por substituição

= \int_{0}^{x^{6}} \frac{u ^{\frac{1}{6}} u ^{\frac{7}{6}} + 1}{6} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{6} \cdot \int_{0}^{x^{6}} u^{\frac{1}{6}} u^{\frac{7}{6}} + 1 d u

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{6} \cdot \int_{0}^{(x^{6})^{\frac{1}{6}}} 6 v^{6} v^{7} + 1 d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \int_{0}^{(x^{6})^{\frac{1}{6}}} v^{6} v^{7} + 1 d v

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \int_{1}^{(x^{6})^{\frac{7}{6}} + 1} \frac{w}{7} d w

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \frac{1}{7} \cdot \int_{1}^{(x^{6})^{\frac{7}{6}} + 1} w d w

Aplicar a regra da potência

= \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \frac{1}{7} [\frac{2}{3} w^{\frac{3}{2}}]_{1}^{(x^{6})^{\frac{7}{6}} + 1}

Simplificar

\frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \frac{1}{7} [\frac{2}{3} w^{\frac{3}{2}}]_{1}^{(x^{6})^{\frac{7}{6}} + 1} : \frac{1}{7} [\frac{2}{3} w^{\frac{3}{2}}]_{1}^{x^{7} + 1}

= \frac{1}{7} [\frac{2}{3} w^{\frac{3}{2}}]_{1}^{x^{7} + 1}

Calcular os limites:

\frac{2}{3} (x^{7} + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}

= \frac{1}{7} (\frac{2}{3} (x^{7} + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3})

Simplificar

= \frac{2 ( x ^{7} + 1 ) ^{\frac{3}{2}} - 2}{21}

\int_{4}^{1} 4 x + 3 x^{2} - 2 x^{3} d x

\int_{- a}^{a} (a^{2} - t^{2}) d t

\int_{0}^{4} (2 t + 1) d t

\int_{0}^{20} x + sin (x) d x

\int_{1}^{4} 4 x - x^{2} d x