интеграл с 0 до 1 от sqrt(1+1/(x^2))

Решение

\int_{0}^{1} 1 + \frac{1}{x ^{2}} d x

расходится

Шаги решения

\int_{0}^{1} 1 + \frac{1}{x ^{2}} d x

Присоединить

1 + \frac{1}{x ^{2}}

к одной дроби:

\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}}

= \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} d x

Упростите

\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} : \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}}

= \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} d x

x^{2} = (x),

предполагает

x \geq 0

= \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 1}{x} d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{1}^{2} \frac{u ^{2}}{u ^{2} - 1} d u

Найдите множитель

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int_{1}^{2} \frac{u ^{2}}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int_{1}^{2} \frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 1} d u

\frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 1} = \frac{1}{- u ^{2} + 1} - 1

= - \int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} - 1 d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u - \int_{1}^{2} 1 d u)

\int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u =

расходится

Если часть выражения расходится, то расходится все выражение

= расходится