integral of sin(3x)sin(7x)

解

\int sin (3 x) sin (7 x) d x

\frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 x) - \frac{1}{10} sin (10 x)) + C

解答ステップ

\int sin (3 x) sin (7 x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (- cos (10 x) + cos (- 4 x)) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (10 x) + cos (- 4 x) d x

簡素化

- cos (10 x) + cos (- 4 x) : cos (4 x) - cos (10 x)

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (4 x) - cos (10 x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (4 x) d x - \int cos (10 x) d x)

\int cos (4 x) d x = \frac{1}{4} sin (4 x)

\int cos (10 x) d x = \frac{1}{10} sin (10 x)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 x) - \frac{1}{10} sin (10 x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 x) - \frac{1}{10} sin (10 x)) + C