integral of (x^2+x+1)/(x^2-x)

解

\int \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} - x} d x

x + 3 ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x ∣ - 1 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} - x} d x

拡張

\frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} - x} : \frac{x ^{2}}{x ^{2} - x} + \frac{x}{x ^{2} - x} + \frac{1}{x ^{2} - x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{2}}{x ^{2} - x} d x + \int \frac{x}{x ^{2} - x} d x + \int \frac{1}{x ^{2} - x} d x

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} - x} d x = x - 1 + ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{x}{x ^{2} - x} d x = ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{1}{x ^{2} - x} d x = - ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 1 ∣

= x - 1 + ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 1 ∣

簡素化

= x + 3 ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x ∣ - 1

定数を解答に追加する

= x + 3 ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x ∣ - 1 + C