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integral of x/(1-x^3)

Lösung

\int \frac{x}{1 - x ^{3}} d x

Lösung

- \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{1 - x ^{3}} d x

Faktorisiere

1 - x^{3} : - (- 1 + x^{3})

= \int \frac{x}{- ( - 1 + x ^{3} )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{x}{- 1 + x ^{3}} d x

Ermittle den Partialbruch von

\frac{x}{- 1 + x ^{3}} : \frac{1}{3 ( x - 1 )} + \frac{- x + 1}{3 ( x ^{2} + x + 1 )}

= - \int \frac{1}{3 ( x - 1 )} + \frac{- x + 1}{3 ( x ^{2} + x + 1 )} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{1}{3 ( x - 1 )} d x + \int \frac{- x + 1}{3 ( x ^{2} + x + 1 )} d x)

\int \frac{1}{3 ( x - 1 )} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{- x + 1}{3 ( x ^{2} + x + 1 )} d x = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3}))

= - (\frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3})))

Vereinfache

- (\frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3}))) : - \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3}))

= - \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} + 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x + 1}{3})) + C

Graph

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