integral of (x^2)/(sqrt(36+x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{36 + x ^{2}} d x

36 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 36 + x ^{2}}{6}) + \frac{1}{72} x 36 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{36 + x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 36 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 36 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 36 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 36 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 36 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 36 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{6} x)

ein

= 36 (- ln tan (arctan (\frac{1}{6} x)) + sec (arctan (\frac{1}{6} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{6} x)) tan (arctan (\frac{1}{6} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{6} x)) + sec (arctan (\frac{1}{6} x)))

Vereinfache

36 (- ln tan (arctan (\frac{1}{6} x)) + sec (arctan (\frac{1}{6} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{6} x)) tan (arctan (\frac{1}{6} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{6} x)) + sec (arctan (\frac{1}{6} x))) : 36 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 36 + x ^{2}}{6}) + \frac{1}{72} x 36 + x^{2})

= 36 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 36 + x ^{2}}{6}) + \frac{1}{72} x 36 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 36 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 36 + x ^{2}}{6}) + \frac{1}{72} x 36 + x^{2}) + C

d er i v a t i v e x^{3} - 5

in v erse l a pl a ce \frac{3 s - 1}{s ^{2} - 1}

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{( x + y )}{y + z})

\int \frac{( cos ( x ) )}{sin ^{2} ( x )} d x

\frac{d y}{d x} + 2 x^{- 1} y = 6 x^{4} y^{2}