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integral of 1/(e^x-9e^{-x)}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} - 9 e ^{- x}} d x

Lösung

- \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} - 9 e ^{- x}} d x

Faktorisiere

e^{x} - 9 e^{- x} : e^{- x} (e^{x} + 3) (e^{x} - 3)

= \int \frac{1}{e ^{- x} ( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- x} ( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} = e^{x} \frac{1}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )}

= \int e^{x} \frac{1}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

Vereinfache

e^{x} \frac{1}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} : \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )}

= \int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 3 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u + 3 ) ( u - 3 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( u + 3 ) ( u - 3 )} : - \frac{1}{6 ( u + 3 )} + \frac{1}{6 ( u - 3 )}

= \int - \frac{1}{6 ( u + 3 )} + \frac{1}{6 ( u - 3 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{6 ( u + 3 )} d u + \int \frac{1}{6 ( u - 3 )} d u

\int \frac{1}{6 ( u + 3 )} d u = \frac{1}{6} ln ∣ u + 3 ∣

\int \frac{1}{6 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{6} ln ∣ u - 3 ∣

= - \frac{1}{6} ln ∣ u + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ u - 3 ∣

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

Graph

Beliebte Beispiele

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