integral of (e^x-1)^3

解答

\int (e^{x} - 1)^{3} d x

\frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x + C

求解步骤

\int (e^{x} - 1)^{3} d x

乘开

(e^{x} - 1)^{3} : e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 3 e^{x} - 1

= \int e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 3 e^{x} - 1 d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} d x - \int 3 e^{2 x} d x + \int 3 e^{x} d x - \int 1 d x

\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x}

\int 3 e^{2 x} d x = \frac{3}{2} e^{2 x}

\int 3 e^{x} d x = 3 e^{x}

\int 1 d x = x

= \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x

解答补常数

= \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x + C

\int x^{3} cos (6 x) d x

\int (2 x^{2} + \frac{1}{( 2 x ) ^{2}}) d x

d er i v a t i v e f (x) = - 2 x sin (x^{2})

\frac{\partial}{\partial c} (\frac{a ^{3} b ^{4}}{c ^{2} d ^{4}})

f (x) = arccos (x)